Memahami Sifat-sifat Pada Bilangan Berpangkat Bulat Positif
1. Dengan menggunakan perkalian berulang selesaikanlah soal berikut ini
a. 2^3×2^5 =(2×2×2)×(2×2×2×2×2)
=(2×2×2×2×2×2×2×2)
=2^8

b. 2^5×2^6 =(2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2×2)
=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
=2^11

c. 2^7×2^2 =(2×2×2×2×2×2×2)×(2×2)
=2×2×2×2×2×2×2×2×2
=2^9

Dengan memperhatikan langkah-langkah di atas maka:
a. 2^3×2^5= 2^8
Amatilah!
Bilangan pokok (basis) dari bentuk pangkat yang pertama adalah 2 Dan basis dari bentuk
pangkat ke-2 adalah 2

Pangkat /eksponen dari bentuk pangkat yang pertama adalah 3 Dan eksponen dari bentuk ke-2 adalah 5
Ternyata setelah dilakukan operasi perkalian diperoleh bentuk pangkat baru dengan basis 2
dan eksponennya adalah 8

Jika eksponennya dioperasikan maka diperoleh:
3 + 5 = 8
Operasi hitung apakah yang dilakukan? Penjumlahan

Dari pengamatan di atas dapat dituliskan 2^3×2^5=2^(3+5)=2^8 (i)

b. 2^5×2^6= 2^11
Amatilah!
Bilangan pokok (basis) dari bentuk pangkat yang pertama adalah 2 Dan basis dari bentuk pangkat
ke-2 adalah 2
Pangkat /eksponen dari bentuk pangkat yang pertama adalah 5 Dan eksponen dari bentuk ke-2 adalah 6
Ternyata setelah dilakukan operasi perkalian diperoleh bilangan pangkat baru dengan basis 2 dan
eksponennya adalah 11

Jika eksponennya dioperasikan maka diperoleh:
5 + 6 = 11
Operasi hitung apakah yang dilakukan? Penjumlahan

Dari pengamatan di atas dapat dituliskan 2^5×2^6=2^(5+6)=2^11 (ii)

c. 2^7×2^2=2^9
Amatilah!
Bilangan pokok (basis) dari bentuk pangkat yang pertama adalah 2 Dan basis dari bentuk pangkat
ke-2 adalah 2
Pangkat /eksponen dari bentuk pangkat yang pertama adalah 7 Dan eksponen dari bentuk ke-2 adalah 2
Ternyata setelah dilakukan operasi perkalian, diperoleh bentuk pangkat baru dengan basis 2 dan
eksponennya adalah 9

Jika eksponennya dioperasikan maka diperoleh:
7 …. 2 = 9
Operasi hitung apakah yang dilakukan? …..
Dari pengamatan di atas dapat dituliskan 2^7×2^2=2^(7+ 2 )=2^9 (iii)

Apa yang dapat anda simpulkan dari hal di atas?
Jika dua buah bilangan berpangkat yang memiliki bilangan pokok sama dikalikan, maka pangkatnya
haruslah dijumlahkan

Dengan memperhatikan (i), (ii), dan (iii), jika basisnya kita ganti dengan a, dan eksponen dari basis
yang pertama kita ganti dengan m serta eksponen dari basis yang ke-2 diganti dengan n, maka
bentuknya akan menjadi:

a^m×a^n=a^(m+n) (1)

2. Dengan mengunakan perkalian berulang selesaikanlah soal-soal berikut ini:
a. 3^5/3^3 = (3×3×3×3×3)/(3×3×3)=3 ×3=3^2

b. 3^9/3^9 = (3×3×3×3×3×3×3×3×3)/(3×3×3×3×3×3×3×3×3)=1/1=1=3^0

c. 3^2/3^6 = (3×3)/(3×3×3×3×3×3)=1/(3×3×3×3)=1/3^4 =3^(-4)

Dengan memperhatikan langkah-langkah di atas maka:
a. 3^5/3^3 =3^2
Amatilah!
Bilangan pokok (basis) dari pembilang adalah 3 dan basis dari penyebut adalah 3
Pangkat /eksponen dari pembilang adalah 5 dan eksponen dari penyebut adalah 3
Ternyata setelah dilakukan operasi pembagian, diperoleh bentuk pangkat baru dengan basis 3 dan
eksponennya adalah 2

Jika eksponennya dioperasikan maka diperoleh:
5 …. 3 = 2
Operasi hitung apakah yang dilakukan? Pengurangan
Sehingga dapat dituliskan 3^5/3^3 =3^(5-3)=3^2 (i)

3^9/3^9 =3^0
Amatilah!
Bilangan pokok (basis) dari pembilang adalah 3 dan basis dari penyebut adalah 3
Pangkat /eksponen dari pembilang adalah 9 dan eksponen dari penyebut adalah 9
Ternyata setelah dilakukan operasi pembagian, diperoleh bentuk pangkat yang baru dengan basis 3 dan eksponennya adalah 0

Jika eksponennya dioperasikan maka diperoleh:
9 – 9 = 0
Operasi hitung apakah yang dilakukan? Pengurangan
Sehingga dapat dituliskan 3^9/3^9 =3^(9-9)=3^0 (ii)

3^2/3^6 = 3^(-4)
Amatilah!
Bilangan pokok (basis) dari bentuk pembilang adalah 3 Dan basis dari penyebut adalah 3
Pangkat /eksponen dari pembilang adalah 2 Dan eksponen dari penyebut adalah 6
Ternyata setelah dilakukan operasi pembagian, diperoleh bentuk pangkat yang baru dengan basis 3 dan eksponennya adalah -4

Jika eksponennya dioperasikan maka diperoleh:
2 – 6 = -4
Operasi hitung apakah yang dilakukan? Pengurangan
Sehingga dapat dituliskan 3^2/3^6 =3^(2-6)=3^(-4) (iii)

Apa yang dapat anda simpulkan dari hal di atas?
Jika sebuah bilangan berpangkat dibagi terhadap bilangan pangkat yang lainnya yang memiliki bilangan pokok yang sama, maka pangkatnya haruslah dikurangkan.

Dengan memperhatikan (i), (ii), dan (iii), jika basisnya kita ganti dengan a, dan eksponen dari pembilang kita ganti dengan m serta eksponen dari penyebut diganti dengan n, maka bentuk nya akan menjadi:

a^m/a^n =a^(m-n) (2)

Dengan syarat penyebut/ b≠0. Mengapa?
Karena jika penyebutnya sama dengan nol maka pembagian bilangan berpangkat tersebut menjadi tidak dapat didefinisikan.

Selesaikanlah soal-soal berikut dengan menggunakan perkalian berulang!
(2^3 )^4 =(2×2×2)×(2×2×2)×(2×2×2)×(2×2×2)
=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
= 2^12

(4^5 )^2 =(4×4×4×4×4)×(4×4×4×4×4)
=4×4×4×4×4×4×4×4×4×4
= 4^10

(5^2 )^7 =(5×5)×(5×5)×(5×5)×(5×5)×(5×5)×(5×5)(5×5)
=5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5
= 5^14

Dengan memperhatikan langkah-langkah di atas maka:
(2^3 )^4= 2^12
Amatilah!
Basis dari bentuk pangkat di atas berbentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2 dan pangkat /eksponen dari bilangan pokok 3 Basis dari bentuk pangkat tersebut di pangkatkan dengan 4 sehingga eksponen dari bentuk bilangan berpangkat tersebut adalah 4
Ternyata setelah dilakukan operasi perpangkatan diperoleh bentuk pangkat yang baru dengan bilangan pokok 2 dan eksponennya 12

Jika eksponennya dioperasikan maka diperoleh:
3 x 4 = 12
Operasi hitung apakah yang dilakukan? perkalian
Sehingga dapat disimpulkan (2^3 )^4=2^(3×4)=2^12 (i)

(4^5 )^2= 4^10
Amatilah!
Basis dari bentuk pangkat di atas berbentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 4 dan pangkat /eksponen dari bilangan pokok 5, Basis dari bentuk pangkat tersebut di pangkatkan dengan 2 sehingga eksponen dari bentuk bilangan berpangkat tersebut adalah 2
Ternyata setelah dilakukan operasi perpangkatan diperoleh bentuk pangkat yang baru dengan bilangan pokok 4 dan eksponennya 10

Jika eksponennya dioperasikan maka diperoleh:
5 x 2 = 10
Operasi hitung apakah yang dilakukan? perkalian
Sehingga dapat disimpulkan (4^5 )^2=4^(5×2)=4^10 (ii)

(5^7 )^2= 5^14
Amatilah!
Basis dari bentuk pangkat di atas berbentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 5 dan pangkat /eksponen dari bilangan pokok 7 . Basis dari bentuk pangkat tersebut di pangkatkan dengan 2 sehingga eksponen dari bentuk bilangan berpangkat tersebut adalah 2
Ternyata setelah dilakukan operasi perpangkatan diperoleh bentuk pangkat yang baru dengan bilangan pokok 5 dan eksponennya 14

Jika eksponennya dioperasikan maka diperoleh:
7 x 2 = 14
Operasi hitung apakah yang dilakukan? perkalian
Sehingga dapat disimpulkan (5^7 )^2=5^(7×2)=5^14 (iii)

Apa yang dapat anda simpulkan?
Jika sebuah bilangan berpangkat dipangkatkan terhadap bilangan yang lain maka pangkatnya haruslah dikalikan.

Dengan memperhatikan (i), (ii), dan (iii), jika basisnya kita ganti dengan a, dan eksponen dari basis kita ganti dengan m serta eksponen dari bentuk bilangan berpangkat diganti dengan n, maka bentuk nya akan menjadi:

(a^m )^n=a^(m×n) (3)

Dengan menggunakan perkalian berulang, selesaikanlah soal-soal berikut ini!
(2×3)^3 =(2×3)×(2×3)×(2×3)
=(2×2×2)×(3×3×3)
=2^3×3^3

(4×5)^4 =(4×5)×(4×5)×(4×5)×(4×5)
=(4×4×4×4)×(5×5×5×5)
=4^4×5^4

(6×7)^5 =(6×7)×(6×7)×(6×7)×(6×7)×(6×7)
=(6×6×6×6×6)×(7×7×7×7×7)
=6^5×7^5
Dengan mengamati langkah di atas, maka:
(2×3)^3=2^3×3^3
Amatilah!
Basis dari bentuk pangkat di atas berupa perkalian dua bilangan yang berbeda, dengan bilangan pertama adalah 2 dan bilangan kedua adalah 3
Basis dari bentuk pangkat di atas dipangkatkan dengan 3 sehingga eksponen dari basis adalah 3
Setelah dioperasikan diperoleh hasil berupa perkalian dua buah bilangan berpangkat dengan bentuk pangkat pertama memiliki basis 2 dan eksponen dari basis adalah 3
Bentuk pangkat yang kedua memiliki basis 3 dan eksponen dari basis adalah 3

(4×5)^4=4^4×5^4
Amatilah!
Basis dari bentuk pangkat di atas berupa perkalian dua bilangan yang berbeda, dengan bilangan pertama adalah 4 dan bilangan kedua adalah 5
Basis dari bentuk pangkat di atas dipangkatkan dengan …. Sehingga eksponen dari basis adalah 4
Setelah dioperasikan diperoleh hasil berupa perkalian dua buah bilangan berpangkat dengan bentuk pangkat pertama memiliki basis 4 dan eksponen dari basis adalah 4
Bentuk pangkat yang kedua memiliki basis 5 dan eksponen dari basis adalah 4

(6×7)^5=6^5×7^5
Amatilah!
Basis dari bentuk pangkat di atas berupa perkalian dua bilangan yang berbeda, dengan bilangan pertama adalah 6 dan bilangan kedua adalah 7
Basis dari bentuk pangkat di atas dipangkatkan dengan 5 Sehingga eksponen dari basis adalah 5
Setelah dioperasikan diperoleh hasil berupa perkalian dua buah bilangan berpangkat dengan bentuk pangkat pertama memiliki basis 6 dan eksponen dari basis adalah 5
Bentuk pangkat yang kedua memiliki basis 7 dan eksponen dari basis adalah 5

Dengan memperhatikan hasil pengamatan terhadap 3 soal di atas, apa yang dapat kalian simpulkan?
Jika perkalian dua bilangan yang berbeda dipangkatkan, maka bilangan masing-masing haruslah dipangkatkan.

Jika basis bilangan berpangkat berupa perkalian dua buah bilangan yang berbeda, misalkan bilangan pertama adalah a dan bilangan kedua adalah b, kemudian dipangkatkan n maka bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

(a×b)^n=a^n×b^n (4)

Dengan menggunakan perkalian berulang selesaikanlah soal-soal berikut ini:
(5/7)^4=(5×5×5×5)/(7×7×7×7)

=5^4/7^4

(3/6)^8=(3×3×3×3×3×3×3×3)/(6×6×6×6×6×6×6×6)

=3^8/6^8

(2/3)^5=(2×2×2×2×2)/(3×3×3×3×3)

= 2^5/3^5

Dengan memperhatikan langkah-langkah di atas maka:
(5/7)^4=5^4/7^4

Amatilah:
Bilangan pokok dari bentuk pangkat di atas berbentuk pecahan dengan pembilang 5 dan penyebut 7
Bentuk pecahan tersebut dipangkatkan dengan 4, sehingga eksponen dari bilangan pokok adalah 4
Setelah dipangkatkan, pembilangnya berupa bilangan berpangkat dengan bilangan pokok pembilang 5 dan eksponen pembilang 4 Penyebutnya berupa bilangan berpangkat dengan bilangan pokok penyebut 7 dan eksponen dari penyebutnya adalah 4
Sehingga dapat disimpulkan (5/7)^4=5^4/7^4 (i)

(3/6)^8=3^8/6^8
Amatilah:
Bilangan pokok dari bentuk pangkat di atas berbentuk pecahan dengan pembilang 3 dan penyebut 6
Bentuk pecahan tersebut dipangkatkan dengan 8 sehingga eksponen dari bilangan pokok adalah 8
Setelah dipangkatkan, pembilangnya berupa bilangan berpangkat dengan bilangan pokok pembilang 3 dan eksponen pembilang 8. Penyebutnya berupa bilangan berpangkat dengan bilangan pokok penyebut 6 dan eksponen dari penyebutnya adalah 8
Sehingga dapat disimpulkan (3/6)^8=3^8/6^8 (ii)

(2/3)^5=2^5/3^5
Amatilah:
Bilangan pokok dari bentuk pangkat di atas berbentuk pecahan dengan pembilang 2 dan penyebut 3
Bentuk pecahan tersebut dipangkatkan dengan 5, sehingga eksponen dari bilangan pokok adalah 5
Setelah dipangkatkan, pembilangnya berupa bilangan berpangkat dengan bilangan pokok pembilang 2, dan eksponen pembilang 5. Penyebutnya berupa bilangan berpangkat dengan bilangan pokok penyebut 3 dan eksponen dari penyebutnya adalah 5
Sehingga dapat disimpulkan (2/3)^5=2^5/3^5 (iii)

Berdasarkan langkah-langka yang telah dikerjakan seperti di atas, apakah yang dapat kalian simpulkan?
Jika pembagian dua bilangan yang berbeda dipangkatkan, maka masing-masing bilangan haruslah dipangkatkan.

Dengan memperhatikan (i), (ii), dan (iii), jika bilangan pokok berbentuk pecahan dipangkatkan dengan mengganti pembilang dari bilangan pokok dengan a dan penyebut bilangan pokok kita ganti dengan b. dan eksponen dari bilangan pokok kita ganti dengan n maka dapat diperoleh bentuk:

(a/b)^n=a^n/b^n (5)

Dengan syarat penyebut/ b≠0. Mengapa?
Karena jika penyebut sama dengan nol maka bentuk pangkat tersebut tidak dapat didefinisikan.

Berdasarkan langkah-langkah yang telah kalian kerjakan pada soal no 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat disimpulkan bahwa sifat-sifat bilangan berpangkat adalah sebagai berikut.

Misalkan a,b ∈R dan m,n ∈Z ( m, n anggota bilangan bulat) postif dengan m≥n, maka:

a^m×a^n=a^(m+n)

a^m/a^n =a^(m-n)

(a^m )^n=a^(m×n)

(a×b)^n=a^n×b^n

(a/b)^n=a^n/b^n

Selamat Mengerjakan

About these ads